第一步：标记化
处理表达式的第一步就是将其转化为包含一个个独立符号的列表。这一步很简单，且不是本文的重点，因此在此处我省略了很多。
首先，我定义了一些标记（数字不在此中，它们是默认的标记）和一个标记类型：
token_map = {'+':'ADD', '-':'ADD',
'*':'MUL', '/':'MUL',
'(':'LPAR', ')':'RPAR'}
Token = namedtuple('Token', ['name', 'value'])
</div>
下面就是我用来标记 `expr` 表达式的代码：
split_expr = re.findall('[\d.]+|[%s]' % ''.join(token_map), expr)
tokens = [Token(token_map.get(x, 'NUM'), x) for x in split_expr]
</div>
第一行是将表达式分割为基本标记的技巧，因此
'1.2 / ( 11+3)' --> ['1.2', '/', '(', '11', '+', '3', ')']
</div>
下一行命名标记，这样分析器就能通过分类识别它们：
['1.2', '/', '(', '11', '+', '3', ')']
->
[Token(name='NUM', value='1.2'), Token(name='MUL', value='/'), Token(name='LPAR', value='('), Token(name='NUM', value='11'), Token(name='ADD', value='+'), Token(name='NUM', value='3'), Token(name='RPAR', value=')')]
</div>
任何不在 token_map 中的标记被假定为数字。我们的分词器缺少称为验证的属性，以防止非数字被接受，但幸运的是，运算器将在以后处理它。
就是这样
第二步: 语法定义
我选择的解析器实现自一个本地垂直解析器，其来源于LL解析器的一个简单版本。它是一个最简单的解析器实现，事实上，只有仅仅14行代码。它是一种自上而下的解析器，这意味着解析器从最上层规则开始解析（like:expression），然后以递归方式尝试按照其子规则方式解析，直至符合最下层的规则（like:number）。换句话解释，当自底向上解析器（LR）逐步地收缩标记，使规则被包含在其它规则中，直到最后仅剩下一个规则，而自顶向下解析器（LL）逐步展开规则并进入到少数的抽象规则，直到它能够完全匹配输入的标记。
在深入到实际的解析器实现之前，我们可对语法进行讨论。在我之前发表的文章中，我使用过LR解析器，我可以像如下方式定义计算器语法（标记使用大写字母表示）：
add: add ADD mul | mul;
mul: mul MUL atom | atom;
atom: NUM | '(' add ')' | neg;
neg: '-' atom;
</div>
(如果您还不理解上述语法，请阅读我之前发表的文章)
现在我使用LL解析器，以如下方式定义计算器的语法：
rule_map = {
'add' : ['mul ADD add', 'mul'],
'mul' : ['atom MUL mul', 'atom'],
'atom': ['NUM', 'LPAR add RPAR', 'neg'],
'neg' : ['ADD atom'],
}
</div>
大家可以看到，这里有一个微妙的变化。有关"add and mul"的递归定义被反转了。这是个非常重要的细节，我会向大家详细说明这一点。
LR版本使用了左递归的模式。当LL解析器遇到递归的时候，它会尝试去匹配规则。所以，当左递归发生是，解析器会进入无穷递归。甚至连聪明的LL解析器例如ANTLR也逃避不了这个问题，它会以友好的错误提示代替无穷的递归，而不像我们这个玩具解析器那样。
左递归可以很容易的转变为右递归，我就这么做的。但是解析器并不是那么简单，它又会产生另一个问题：当左递归正确的解析 3-2-1 为(3-2)-1，而右递归却错误的解析为3-(2-1)。我还没想到一个简单的解决办法，所以为了让事情简单，我决定让它继续使用错误的解析格式，并在后面处理这个问题（请看步骤4）
第三步：解析为一个AST
算法其实很简单。我们会定义一个接收两个参数的递归方法：第一个参数是我们要尝试匹配的规则名称，第二个参数是我们要保留的标识列表。我们从add（最上层规则）方法开始，其已包含完整的标识列表，递归调用已非常明确。方法将返回一个数组，其包含元素为：一个是当前匹配项，另一个是保留匹配的标识列表。我们将实现标识匹配功能，以使这段代码可用（它们都是字符串类型；一个是大写格式，另一个是小写格式）。
以下是解析器实现的代码：
RuleMatch = namedtuple('RuleMatch', ['name', 'matched'])
def match(rule_name, tokens):
if tokens and rule_name == tokens[0].name: # 是否匹配标识?
return RuleMatch(tokens[0], tokens[1:])
for expansion in rule_map.get(rule_name, ()): # 是否匹配规则?
remaining_tokens = tokens
matched_subrules = []
for subrule in expansion.split():
matched, remaining_tokens = match(subrule, remaining_tokens)
if not matched:
break # 运气不好，跳出循环，处理下一个扩展定义!
matched_subrules.append(matched)
else:
return RuleMatch(rule_name, matched_subrules), remaining_tokens
return None, None # 无匹配结果
</div>
代码4至5行说明：如果规则名称（rule_name)确实是一个标识，并被包含在标识列表（tokens）中，同时检查其是否匹配当前标识。如果是，表达式将返回匹配方法，标识列表任然进行使用。
代码第6行说明：迭代将循环检查是否匹配该规则名称对应的子规则，通过递归实现每条子规则的匹配。如果规则名称满足匹配标识的条件，get()方法将返回一个空数组，同时代码将返回空值（见16行）。
第9-15行，实现迭代当前的sub-rule，并尝试顺序地匹配他们。每次迭代都尽可能多的匹配标识。如果某一个标识无法匹配，我们就会放弃整个sub-rule。但是，如果所有的标识都匹配成功，我们就到达else语句，并返回rule_name的匹配值，还有剩下标识。
现在运行并看看1.2/(11+3)的结果。
>>> tokens = [Token(name='NUM', value='1.2'), Token(name='MUL', value='/'), Token(name='LPAR', value='('), Token (name='NUM', value='11'), Token(name='ADD', value='+'), Token(name='NUM', value='3'), Token(name='RPAR', value=')')]
>>> match('add', tokens)
(RuleMatch(name='add', matched=[RuleMatch(name='mul', matched=[RuleMatch(name='atom', matched=[Token(name='NUM', value='1.2')]), Token(name='MUL', value='/'), RuleMatch(name='mul', matched=[RuleMatch(name='atom', matched=[Token(name='LPAR', value='('), RuleMatch(name='add', matched=[RuleMatch(name='mul', matched=[RuleMatch(name='atom', matched=[Token(name='NUM', value='11')])]), Token(name='ADD', value='+'), RuleMatch(name='add', matched=[RuleMatch(name='mul', matched=[RuleMatch(name='atom', matched=[Token(name='NUM', value='3')])])])]), Token(name='RPAR', value=')')])])])]), [])
</div>
结果是一个tuple，当然我们并没有看到有剩下的标识。匹配结果并不易于阅读，所以让我吧结果画成一个图：
add
mul
atom
NUM '1.2'
MUL '/'
mul
atom
LPAR '('
add
mul
atom
NUM '11'
ADD '+'
add
mul
atom
NUM '3'
RPAR ')'
</div>
这就是概念上的AST。通过你思维逻辑，或者在纸上描绘，想象解析器是如何运作的，这样是个很好的锻炼。我不敢说这样是必须的，除非你想神交。你可以通过AST来帮助你实现正确的算法。
到目前为止，我们已经完成了可以处理二进制运算，一元运算，括号和操作符优先权的解析器。
现在只剩下一个错误待解决，下面的步骤我们将解决这个错误。
第四步：后续处理
我的解析器并非在任何场合管用。最重要的一点是，它并不能处理左递归，迫使我把代码写成右递归方式。这样导致，解析 8/4/2 这个表达式的时候，AST结果如下：
add
mul
atom
NUM 8
MUL '/'
mul
atom
NUM 4
MUL '/'
mul
atom
NUM 2
</div>
如果我们尝试通过AST计算结果，我们将会优先计算4/2，这当然是错误的。一些LL解析器选择修正树里面的关联性。这样需要编写多行代码;)。这个不采纳，我们需要使它扁平化。算法很简单：对于AST里面的每个规则 1)需要修正 2)是一个二进制运算 （拥有sub-rules