C语言求Fibonacci斐波那契数列通项问题的解法总结

一：递归实现
 　　使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。

二：数组实现
 　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。

三：vector<int>实现
 　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。

四：queue<int>实现
 　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，
 　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。

五：迭代实现
 　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。

六：公式实现
百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。

由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

完整的实现代码如下：

#include "iostream" 
#include "queue" 
#include "cmath" 
using namespace std; 
 
int fib1(int index)   //递归实现 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  if(index==1 || index==2) 
    return 1; 
  return fib1(index-1)+fib1(index-2); 
} 
int fib2(int index)   //数组实现 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  if(index<3) 
  { 
    return 1; 
  } 
  int *a=new int[index]; 
  a[0]=a[1]=1; 
  for(int i=2;i<index;i++) 
    a[i]=a[i-1]+a[i-2]; 
  int m=a[index-1]; 
  delete a;     //释放内存空间 
  return m; 
} 
 
int fib3(int index)      //借用vector<int>实现 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
 
  vector<int> a(2,1);   //创建一个含有2个元素都为1的向量 
  a.reserve(3); 
  for(int i=2;i<index;i++) 
  { 
    a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1)); 
    a.pop_back(); 
  } 
  return a.at(0); 
}  
 
int fib4(int index)    //队列实现 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  queue<int>q; 
  q.push(1); 
  q.push(1); 
  for(int i=2;i<index;i++) 
  { 
    q.push(q.front()+q.back()); 
    q.pop(); 
  } 
  return q.back(); 
} 
int fib5(int n)     //迭代实现 
{ 
  int i,a=1,b=1,c=1; 
  if(n<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  for(i=2;i<n;i++) 
  { 
    c=a+b;   //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法） 
    a=b; 
    b=c; 
  } 
  return c; 
} 
int fib6(int n) 
{ 
  double gh5=sqrt((double)5); 
  return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5); 
}  
 
int main(void) 
{ 
  printf("%d\n",fib3(6)); 
  system("pause"); 
  return 0; 
} 

七：二分矩阵方法

如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。
下面贴出代码：

void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod) 
{ 
  int tmp[4]; 
  tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]; 
  tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]; 
  tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0]; 
  tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1]; 
  c[0][0]=tmp[0]%mod; 
  c[0][1]=tmp[1]%mod; 
  c[1][0]=tmp[2]%mod; 
  c[1][1]=tmp[3]%mod; 
}//计算矩阵乘法，c=a*b 
 
int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数 
{ 
  if(n==0)return 0; 
  else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1 
 
  int a[2][2]={{1,1},{1,0}}; 
  int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵 
  int s; 
  n-=2; 
  while(n>0) 
  { 
    if(n%2 == 1) 
      multiply(result,result,a,mod); 
    multiply(a,a,a,mod); 
    n /= 2; 
  }//二分法求矩阵幂 
  s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果 
  return s; 
} 

附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。

int pow(int a,int n) 
{ 
  int ans=1; 
  while(n) 
  { 
    if(n&1) 
      ans*=a; 
    a*=a; 
    n>>=1; 
  } 
  return ans; 
}