k个最小和 K路归并问题

问题描述

有k个整数数组，各包含k个元素，从每个数组中选取一个元素加起来，可以得到k^k个和，求这些和中最小的k个值。

输入格式

第一行，一个整数k(k<=500)
接下来k行，每行k个正整数(<=1000000)

输出格式

一行，k个有小到大排列的整数，表示最小的k个和

这次先给出代码:

#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define MAXN 505
using namespace std;

int K,data[MAXN][MAXN],Ans;
struct node{
    int x,y,v;
    node(int a,int b,int c){x=a;y=b;v=c;}
};
bool operator<(node a,node b){return a.v>b.v;}


priority_queue<node>Q;

int main()
{
    int i,j,x,y,v;

    scanf("%d",&K);
    for(i=1;i<=K;i++)
    for(j=1;j<=K;j++)scanf("%d",&data[i][j]);

    for(i=1;i<=K;i++)sort(data[i]+1,data[i]+K+1);
    for(i=1;i<=K;i++)Ans+=data[i][1];
    Q.push(node(0,1,Ans));

    for(i=1;i<=K;i++)
    {
        x=Q.top().x;y=Q.top().y;v=Q.top().v;Q.pop();
        printf("%d ",v);
        if(y<K&&x)Q.push(node(x,y+1,v+data[x][y+1]-data[x][y]));
        for(j=x+1;j<=K;j++)Q.push(node(j,2,v+data[j][2]-data[j][1]));
    }
}

首先，把K个数组排序后再处理是显然的。输出的第一个数显然是每个数组的第一个元素之和。
接下来讨论之后的(K-1)个数怎么处理。很容易想到用堆来维护。为了说明算法，下面先谈一下代码中node中x,y,v的含义。

x ：表示当前除第一列的数以外，已选的数中行数最大的编号。
y ：表示在第x个数组中选的数为第y小的数。
v ：表示当前方案的总和。

现在假设我们已经得到了第n个解以及含有若干元素的堆，那么可能扩展出的新的解的来源无非有两种：

1.将当前方案中的第x个数组中选第y小数改为选第y+1小数
2.第x个数组仍然选第y个数，但是接下来选择x+1~K数组中的第二个数

可能现在还是有些疑惑，下面主要解释两件事：
1.为什么x非要是“已选的数中行数最大的编号”？
2.为什么在来源2中，不选择1~x-1数组的数，这样不会漏选吗？

对于1，原因是为了不重复讨论，相当于给了讨论一个顺序。
对于2，答案是不会。因为这种在之前一定已经讨论过了。原因是更优的解总会被先讨论到。

假设我们之前的讨论没有错误。如果我们改变1~x-1数组选择的某个数，设当前方案中除第一列外，已选的数中数组编号第二小的数为z（最大的为x，这是条件），称为方案A。那么当方案B“x=y-1,其他选数情况不变”一定比这个更优，而且方案B已经被输出了，所以根据讨论的原理，在讨论方案B时，就已经添加了方案A。所以已经讨论过了。