C#用递归算法解决经典背包问题

1.引子

　　我们人类是一种贪婪的动物，如果给您一个容量一定的背包和一些大小不一的物品，裝到背包里面的物品就归您，遇到这种好事大家一定不会错过，用力塞不一定是最好的办法，用脑子才行，下面就教您如何解决这样的问题，以获得更多的奖品。

2.应用场景

　　在一个物品向量中找到一个子集满足条件如下 ：

　　1）这个子集加起来的体积大小不能大于指定阀值

　　2）这个物品子集加起来价值大小是向量V中所有满足条件1的子集中最大的

3.分析

　　背包问题有好多版本，本文只研究0/1版本，即对一个物体要么选用，要么就抛弃，不能将一个物体再继续细分的情况。这种问题最简单的方法就是找出这个向量的所有子集，如同找出幂集中的子集一样，但这种遍历的方法恐怕并不会被聪明的我们所使用，现在举办这些活动的电视台也非常聪明，他们不但要求您能将物品装进去，而且指定操作时间，这样当您慢慢腾腾的装进去倒出来的时候，时间恐怕早就到了，最终您可能一无所获，这可不是我们希望的结果，我们需要使用一些策略：第一次我们可以从大小小于背包容量的物品中随意挑取一个，这样可以尽量争取时间，选取第一个后的每一个我们希望其都是最优的，这样能节省一定的时间。假设有这么一组物品，其大小和价值如下表所示：

给我们一个容量为12的背包，让我们装上面这些物品，我们可以用下面的方法来解决寻找最优组合的问题

建立一个二围数组，数组包括n个行(n为物品数量)和capcity+1列

首先我们对第一个物品进行取舍，因为物品1大小为2，先将物品1加入背包，物品1的大小为2，则cap>=2的时候能容纳item1，这时候背包里面物品的价值为item1.Value=1,得到以下数组

接下来处理物品1和物品2的子集，item2的大小为3，则只有cap=3的时候才能容纳item2,当cap=3的时候讲好能容纳item2,此时背包里面价值item2.value=4,且剩余空间为0，当cap=4的时候，能容纳item2，且剩余空间为1，不能容item1,当cap=5的时候，可以容纳item1+item2,此时的价值为1+4 =5，得到第二行

下面分析物品三，物品二，物品一的子集，物品三的大小为4，当cap=4的时候就能容纳item3,但此时背包里面的价值为3，明显小于上一行中的cap=4的价值（3<4),所以cap=4时不能将item3放进去，所以第三行的4位置应该和第二行的4位置一致，当cap=5的时候能够容纳item3,且剩余空间为1，和cap=4情况一样，拷贝上一行同一位置的值，当cap=6，放置item3后剩余2，能容item1和item4,二者的总价值:1+3=4<5，故拷贝上一行同位置的值，cap=7的时候，能容item2+item3，总价值大小为7,大于>5，故cap=8的时的值为7，cap=9的时候仍能容难item3+item2,value=7，cap=8的时候，能容纳item1+item2+item3,且总价值大小为8，大于上一行同位置的值，故cap>=9时候，总价值大小为8,第三行：