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问题：两个递增排序的整数序列 A, B，长度同为N，求前K个最小的 a[i] + b[j]
描述:
解决方案1:
描述:
递增排序的整数序列 A={a(i)}、B = {b(j)} 长度同为 N，两个数组相加得到 N2 个数，再对这些数进行排序，算法时间复杂度很高啊。有什么更好的办法吗？
解决方案1:
A B -> sort asc
i = 0, j = 0, k = 1;
while(k < K)
{
if (A[i + 1] + B[j] < A[i] + B[j + 1]) then i++; else j++;
k++;
}
用小顶堆 应该可以减少一些时间复杂度. 不过我们可以试试用搜索的办法.
建立 大小为min(N, K)的一维数组A. 对应到二维来说, A[i] 表示 对第i行 的最右的被选的点. 如此可以把 解空间 分为(已选, 未选) 两部分. 这样判定 某点(x, y)是否被选, y <= A[i] 即被选中.
注:这里可以用 N x N的 状态矩阵 来理解, 标识 "两个数组相加得到 N2 个数" 的状态, x.y表示a[x]+b[y] 的状态. 初始化 M 为: M0.0 为 已选出, M0.1 和 M1.0 为 "待选", 其他为 "未选"
结果集R, 初始化为().
待选集S, 初始化为 (a0b0).
步骤:
1. 从 待选集S 中去掉最小的s, 把s加入 结果集R, 假设其为 a[i]+b[j];
2. 如果结果集 元素数量 = K, 退出;
2. 在M中找 Mi+1.j 和 Mi.j+1 的状态. 对某个Mx.y来说, 仅当Mx-1.y 和Mx.y-1 都为 "已选出", 才把axby加入待选集S; 使用状态数组 来确定 某个点的 状态.
3. 重复1.
时间复杂度: 待选集S 最大 为min(N, K+1). 选最小数可以用 小顶堆. 所以复杂度为 K*lg (min(N, K+1))
说明:
仅当Mx-1.y 和Mx.y-1 都为 "已选出", 才把axby加入待选集S -- 如果Mx-1.y 和Mx.y-1有一个为"待选"
或"未选", 则待选集S中必有元素 比axby 要小.
写了java的实现, 这里 待选集 用了java内置的 PriorityQueue, 其基本操作都是logN的.
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.PriorityQueue;
import org.junit.Test;
public class TopKSumOfTwoSortArrayFinderV2 {
private PriorityQueue<Node> interSet;
private List<Node> resultList;
private int statusArray[];
private static class Node implements Comparable<Node>{
int indexX;
int indexY;
int value;
public Node(int indexX, int indexY, int value) {
this.indexX = indexX;
this.indexY = indexY;
this.value = value;
}
@Override
public int compareTo(Node n) {
return value - n.value;
}
@Override
public String toString(){
return "x:" + indexX + ", y:" + indexY + ", value:" + value;
}
}
private void getTopKSum(int[] x, int[] y, int size, int K) {
init(x, y, size, K);
while(true){
System.out.println("heap size: " + interSet.size());
Node currentNode = interSet.poll();
resultList.add(currentNode);
int indexX = currentNode.indexX;
int indexY = currentNode.indexY;
select(indexX, indexY);
printSelected(currentNode);
if(resultList.size() >= K) break;
if(indexX < size - 1){ // then currentNode has right node
Node rightNode = new Node(indexX + 1, indexY,
x[indexX + 1] + y[indexY]);
if( rightNode.indexY == 0 || ifSelected(indexX + 1, indexY - 1)){
// right node has not upper node or upper node is selected
interSet.add(rightNode);
}
}
if(indexY < size - 1){ // then currentNode has lower node
Node lowerNode = new Node(indexX, indexY + 1, x[indexX]
+ y[indexY + 1]);
if( lowerNode.indexX == 0 || ifSelected(indexX - 1, indexY + 1)){
// lower node has not left node or left node is selected
interSet.add(lowerNode);
}
}
}
}
private void printSelected(Node n) {
System.out.println("selected: " + n);
}
private void select(int x, int y){
if(y > statusArray[x])
statusArray[x] = y;
}
private boolean ifSelected(int x, int y){
return y <= statusArray[x];
}
private void init(int[] x, int[] y, int size, int k) {
statusArray = new int[size > k ? size : k];
Arrays.fill(statusArray, -1);
interSet = new PriorityQueue<>(size);
interSet.add(new Node(0, 0, x[0] + y[0]));
resultList = new ArrayList<>();
}
@Test
public void test(){
int[] a={1,2,3,4,5,6,7,8};
int[] b={100,200,300,400,500,600,700,800};
getTopKSum(a, b, 8, 40);
}
}
数据集定义
谢谢 @brayden 提供的思路。
将M(n*n)矩阵分为三个区域：
- 已经遍历 && 已经选择(结果集R)
- 已经遍历 && 未选择(待选集S, 使用最小堆结构)，
- 未遍历(待遍历集U)
操作
- 初始化，将(a0b0)放到S集（最小堆）
- 从S 集删除最小元素(即堆顶)，最小元素放到R 结果集。(如果R足够K, 就结束)
- 从待遍历集U中, 选出可能是下一个或者两个 能进入R的 小元素, 放到S集中
- 回到步骤2 继续
复杂度
S集最多为min(K, n). 所以时间复杂度为O(K*log(min(K, n)))
代码示例
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
struct heap{
int ai,bi;
int v;
};
int S_n= 0;
void print_heap(struct heap *S){
int i=0,j=0;
int pad = (int)log2((float)S_n);
int k = 1;
printf("\n---- print S start --------\n");
while(i<S_n){
for(j=0; j<pad;j++){
printf("%8c", ' ');
}
for(j = i+k; i<j && i<S_n; i++){
printf("%-2d(%d,%d)\t\t", S[i].v, S[i].ai, S[i].bi);
}
printf("\n");
k *=2;
pad--;
}
printf("\n---- print S end --------\n");
}
void heap_swap(struct heap *a, struct heap *b){
struct heap t;
t=*a;
*a=*b;
*b=t;
}
/**
* 向下调整堆: O(logN)
*/
void min_heap_down(struct heap *S, int i){
int left,right;
while(2*i+1<S_n){
int mini;
left = 2*i+1;
right = left+1;
mini = left;
if(right < S_n && S[right].v < S[left].v){
mini = right;
}
if(S[mini].v < S[i].v){
heap_swap(S+mini, S+i);
i = mini;
}else{
break;
}
}
}
/**
* min_heap_insert: O(logN)
*/
void min_heap_insert(struct heap *S, int ai, int bi, int v){
int i,j,temp;
struct heap node = {ai, bi, v};
S[S_n] = node;
i = S_n;
while(i > 0){
j = (i-1)/2;
if(S[j].v > S[i].v){
heap_swap(S+i, S+j);
}else{
break;
}
i = j;
}
S_n++;
}
/**
* min_heap_del: O(logN)
*/
void min_heap_del(struct heap *S, int i){
heap_swap(&S[i], &S[--S_n]);
min_heap_down(S, i);
}
/**
* topK of [a + b]
*/
int topK(int *a, int *b, int n, int K, int *R){
int k=0;
struct heap *S;
S = malloc( sizeof(struct heap) * (K<n ? K :n));
min_heap_insert(S, 0, 0, a[0]+b[0]);
int i,j;
while(S_n >0){
struct heap node = S[0];
min_heap_del(S, 0);
R[k] = node.v;
printf("Result: %d k=%d\n", node.v, k);
if(++k < K){
if(node.bi + 1 < n){
min_heap_insert(S, node.ai, node.bi+1, a[node.ai] + b[node.bi+1]);
}
if(node.bi == 0 && node.ai+1 < n){
min_heap_insert(S, node.ai+1, 0, a[node.ai+1] + b[0]);
}
}else{