C语言实现大整数加减运算详解

前言

    我们知道，在数学中，数值的大小是没有上限的，但是在计算机中，由于字长的限制，计算机所能表示的范围是有限的，当我们对比较小的数进行运算时，如：1234+5678，这样的数值并没有超出计算机的表示范围，所以可以运算。但是当我们在实际的应用中进行大量的数据处理时，会发现参与运算的数往往超过计算机的基本数据类型的表示范围，比如说，在天文学上，如果一个星球距离我们为100万光年，那么我们将其化简为公里，或者是米的时候，我们会发现这是一个很大的数。这样计算机将无法对其进行直接计算。

    可能我们认为实际应用中的大数也不过就是几百位而已，实际上，在某些领域里，甚至可能出现几百万位的数据进行运算，这是我们很难想象的。如果没有计算机，那么计算效率可想而知。

    由于编程语言提供的基本数值数据类型表示的数值范围有限，不能满足较大规模的高精度数值计算，因此需要利用其他方法实现高精度数值的计算，于是产生了大数运算。本项目实现了大数运算的加、减运算。

一. 问题提出

用C语言实现一个大整数计算器。初步要求支持大整数的加、减运算，例如8888888888888+1112=8888888890000或1000000000000-999999999999=1。

C语言中，整型变量所能存储的最宽数据为0xFFFF FFFF，对应的无符号数为4294967295，即无法保存超过10位的整数。注意，此处"10位"指数学中的10个数字，并非计算机科学中的10比特。浮点类型double虽然可以存储更多位数的整数，但一方面常数字面量宽度受编译器限制，另一方面通过浮点方式处理整数精度较低。例如：

  double a = 1377083362513770833626.0, b=1585054852315850548524.0;
  printf("res = %.0f\n", a+b);

输出为res = 2962138214829621510144，而正确值应为2962138214829621382150。

既然基本数据类型无法表示大整数，那么只能自己设计存储方式来实现大整数的表示和运算。通常，输入的大整数为字符串形式。因此，常见的思路是将大整数字符串转化为数组，再用数组模拟大整数的运算。具体而言，先将字符串中的数字字符顺序存入一个较大的整型数组，其元素代表整数的某一位或某几位(如万进制)；然后根据运算规则操作数组元素，以模拟整数运算；最后，将数组元素顺序输出。

数组方式操作方便，实现简单，缺点是空间利用率和执行效率不高。也可直接操作大整数字符串，从字符串末尾逆向计算。本文实现就采用这种方式。

二. 代码实现

首先，给出几个宏定义和运算结构：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>

#define ADD_THRES   (sizeof("4294967295")-2) //两个9位整数相加不会溢出
#define MUL_THRES   (sizeof("65535")-2)    //两个4位整数相乘不会溢出
#define OTH_THRES   (sizeof("4294967295")-1) //两个10位整数相减或相除不会溢出

typedef struct{
  char *leftVal;
  char *rightVal;
  char operator;
}MATH_OPER;

基于上述定义，以下将依次给出运算代码的实现。

加法运算主要关注相加过程中的进位问题：

void Addition(char *leftVal, char *rightVal,
       char *resBuf, unsigned int resbufLen) {
  unsigned int leftLen = strlen(leftVal);
  unsigned int rightLen = strlen(rightVal);

  unsigned char isLeftLonger = (leftLen>=rightLen) ? 1 : 0;
  unsigned int longLen = isLeftLonger ? leftLen : rightLen;
  if(resbufLen < longLen) { //possible carry + string terminator
    fprintf(stderr, "Not enough space for result(cur:%u)!\n", resbufLen);
    return;
  }

  char *longAddend = isLeftLonger ? leftVal : rightVal;
  char *shortAddend = isLeftLonger ? rightVal : leftVal;
  unsigned int diffLen = isLeftLonger ? (leftLen-rightLen) : (rightLen-leftLen);
  //a carry might be generated from adding the most significant digit
  if((leftLen == rightLen) && (leftVal[0]-'0'+rightVal[0]-'0' >= 9))
    resBuf += 1;

  unsigned int carry = 0;
  int i = longLen-1;
  for(; i >= 0; i--) {
    unsigned int leftAddend = longAddend[i] - '0';
    unsigned int rightAddend = (i<diffLen) ? 0 : shortAddend[i-diffLen]-'0';
    unsigned int digitSum = leftAddend + rightAddend + carry;
    resBuf[i] = digitSum % 10 + '0';
    carry = (digitSum >= 10) ? 1 : 0;
  }
  if(carry == 1) {
    resBuf -= 1;
    resBuf[0] = '1';
  }
  else if(leftVal[0]-'0'+rightVal[0]-'0' == 9) {
    resBuf -= 1;
    resBuf[0] = ' '; //fail to generate a carry
  }
}

注意第33~36行的处理，当最高位未按期望产生进位时，原来为0的resBuf[0]被置为空格字符，否则将无法输出运算结果。当然，也可将resBuf整体前移一个元素。

减法运算相对复杂，需要根据被减数和减数的大小调整运算顺序。若被减数小于减数("11-111"或"110-111")，则交换被减数和减数后再做正常的减法运算，并且结果需添加负号前缀。此外，还需关注借位问题。

void Subtraction(char *leftVal, char *rightVal,
         char *resBuf, unsigned int resbufLen) {
  int cmpVal = strcmp(leftVal, rightVal);
  if(!cmpVal) {
    resBuf[0] = '0';
    return;
  }

  unsigned int leftLen = strlen(leftVal);
  unsigned int rightLen = strlen(rightVal);
  unsigned char isLeftLonger = 0;
  if((leftLen > rightLen) ||       //100-10
    (leftLen == rightLen && cmpVal > 0)) //100-101
    isLeftLonger = 1;
  unsigned int longLen = isLeftLonger ? leftLen : rightLen;
  if(resbufLen <= longLen) { //string terminator
    fprintf(stderr, "Not enough space for result(cur:%u)!\n", resbufLen);
    return;
  }

  char *minuend = isLeftLonger ? leftVal : rightVal;
  char *subtrahend = isLeftLonger ? rightVal : leftVal;
  unsigned int diffLen = isLeftLonger ? (leftLen-rightLen) : (rightLen-leftLen);
  //a borrow will be generated from subtracting the most significant digit
  if(!isLeftLonger) {
    resBuf[0] = '-';
    resBuf += 1;
  }

  unsigned int borrow = 0;
  int i = longLen-1;
  for(; i >= 0; i--)
  {
    unsigned int expanSubtrahend = (i<diffLen) ? '0' : subtrahend[i-diffLen];
    int digitDif = minuend[i] - expanSubtrahend - borrow;
    borrow = (digitDif < 0) ? 1 : 0;
    resBuf[i] = digitDif + borrow*10 + '0';
    //printf("[%d]Dif=%d=%c-%c-%d -> %c\n", i, digitDif, minuend[i], expanSubtrahend, borrow, resBuf[i]);
  }

  //strip leading '0' characters
  int iSrc = 0, iDst = 0, isStripped = 0;
  while(resBuf[iSrc] !='\0') {
    if(isStripped) {
      resBuf[iDst] = resBuf[iSrc];
      iSrc++; iDst++;
    }
    else if(resBuf[iSrc] != '0') {
      resBuf[iDst] = resBuf[iSrc];
      iSrc++; iDst++;
      isStripped = 1;
    }
    else
      iSrc++;
   }
   resBuf[iDst] = '\0';
}

对于Addition()和Subtraction()函数，设计测试用例如下：

#include<assert.h>
#define ASSERT_ADD(_add1, _add2, _sum) do{\
  char resBuf[100] = {0}; \
  Addition(_add1, _add2, resBuf, sizeof(resBuf)); \
  assert(!strcmp(resBuf, _sum)); \
}while(0)
#define ASSERT_SUB(_minu, _subt, _dif) do{\
  char resBuf[100] = {0}; \
  Subtraction(_minu, _subt, resBuf, sizeof(resBuf)); \
  assert(!strcmp(resBuf, _dif)); \
}while(0)
void VerifyOperation(void) {
  ASSERT_ADD("22", "1686486458", "1686486480");
  ASSERT_ADD("8888888888888", "1112", "8888888890000");
  ASSERT_ADD("1234567890123", "1", "1234567890124");
  ASSERT_ADD("1234567890123", "3333333333333", "4567901223456");
  ASSERT_ADD("1234567890123", "9000000000000", "10234567890123");
  ASSERT_ADD("1234567890123", "8867901223000", "10102469113123");
  ASSERT_ADD("1234567890123", "8000000000000", " 9234567890123");
  ASSERT_ADD("1377083362513770833626", "1585054852315850548524", "2962138214829621382150");

  ASSERT_SUB("10012345678890", "1", "10012345678889");
  ASSERT_SUB("1", "10012345678890", "-10012345678889");
  ASSERT_SUB("10012345678890", "10012345678891", "-1");
  ASSERT_SUB("10012345678890", "10012345686945", "-8055");
  ASS